向量的加减与数乘：走两段路，和把箭头拉长

你先从家走到小卖部买了瓶水，又从小卖部走到球场。现在你妈问："你从家一共走到哪儿去了？"——你怎么一句话说清？

场景问题

你妈的问题其实不好答。你可以老实交代："我先往东走了 300 米，然后往北走了 400 米。"但这是两句话，而且她要的不是路线，是结果——你最后跑到哪儿去了。

如果你能说"我从家往东北方向走了 500 米"，那就一句话说完了。

这两种说法有意思的地方在于：它们描述的是同一件事。一个是"过程"（走了哪两段），一个是"结果"（净跑了多远、朝哪）。数学家要的就是从过程算出结果的方法——已知你走的每一段，算出你净走了多少。

这个方法叫向量相加。而它的兄弟问题是："如果我按原来的方向，但走三倍那么远，会到哪儿？"——那个叫数乘。

上一篇我们说过一句当时像废话的话：向量不管起点，箭头挪到哪儿都是同一个向量。这一篇你马上就要用到它——正因为箭头能随便挪，我们才能把两根箭头首尾接起来。

实现方案

相加：首尾相接

规则简单到有点让人失望：把第二根箭头的尾巴，接到第一根箭头的头上，然后从最开始的起点画一根箭头指向最后的终点。 这根新箭头就是它们的和。

看着下面这幅图，跟着那个来回跑的小点走一遍：

橙色是第一段，青色是第二段（注意青色的尾巴正好接在橙色的头上），紫色就是它们的和——从起点直接指向终点。小点跑的路是"过程"，紫色箭头是"结果"。

这个画法叫三角形法则，因为三根箭头围成了一个三角形。

顺便回答一个问题：先走哪段有区别吗？

图里那两根灰色虚线就是在回答这件事。它们是先走青色、再走橙色的路线——你会发现，虚线也走到了同一个终点。

这不是巧合。两条路线（橙→青、青→橙）加上起点终点，围成了一个平行四边形，紫色箭头正好是它的对角线。有些书管这叫平行四边形法则——但你看，它和三角形法则说的是同一件事，只是把两种走法都画出来了而已。

所以：向量相加可以交换顺序，$a + b = b + a$。 理由特别朴实——先往东走再往北走，和先往北走再往东走，反正都到那个角上。

用数字算：对应位置分别相加

现在把图上的格子数一数：

• 橙色是向右 3 格、向上 1 格，也就是 $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• 青色是向右 1 格、向上 2 格，也就是 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• 紫色是向右 4 格、向上 3 格，也就是 $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

看出来了吗？$3 + 1 = 4$，$1 + 2 = 3$。

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$

上面的数跟上面的数加，下面的数跟下面的数加。 就这么简单。

但这里有件事我希望你特别留意：这个规则不是谁规定的，它是从图上"看"出来的。 想想为什么——你先向右 3 格再向右 1 格，那当然一共向右 4 格；你先向上 1 格再向上 2 格，那当然一共向上 3 格。向右的和向右的算总账，向上的和向上的算总账，两笔账互不干扰。

规则来自事实，不是来自规定。 这是这一篇最值得记住的一句话。以后碰到任何"背不下来的公式"，你都可以问一句："这条规则是从哪张图上看出来的？"

数乘：把箭头拉长缩短

如果向量是"往那边走 200 米"，那"往同一边走 600 米"是什么？显然是同一个方向，距离变 3 倍。

这就是数乘：拿一个普通的数（上一篇提过，普通的数叫标量）去乘一个向量，效果是把箭头拉长或缩短，方向不变。

青色是原来的 $v$，橙色是 $2v$——方向一模一样，长度翻倍。算起来也不意外：

$$2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$

每个数字都乘 2 就行。 道理还是从图上来的：向右的格数翻倍、向上的格数也翻倍，箭头自然就整体变成两倍长，斜度一点没变（所以方向不变）。

那乘小于 1 的数呢？$0.5 v$ 就是缩短一半，还是同一个方向。

乘负数：长度照变，方向掉头

现在看紫色那根。它是 $-v$，也就是 $(-1) \cdot v$。

$$(-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

"向右 2 格"变成了"向右 -2 格"——向右走负数格，就是向左走 2 格。同理"向上 -1 格"就是向下 1 格。于是箭头转了个 180 度，完全掉头，但长度和原来一样。

所以规则是：乘 $k$ 之后，长度变成 $|k|$ 倍（取绝对值，因为长度不可能是负的），而 $k$ 是负数时方向反过来。

比如 $-3v$：长度变 3 倍，方向掉头。

乘 0：原地不动

$0 \cdot v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，向右 0 格、向上 0 格——哪儿也没去。

这个"长度为零、没有方向"的特殊向量叫零向量，写作 $\vec{0}$。它在图上就是一个点，画不出箭头。你可以把它理解成"原地不动"这个动作——听着像什么都没做，但它确实是个合法的动作，后面讲到"方程组无解"和"平面被压扁"时它会派上大用场。

相减：加上一个掉头的箭头

减法不需要新规则。既然乘 $-1$ 就是掉头，那么：

$$a - b = a + (-b)$$

减去 $b$，就是加上一个掉了头的 $b$。

不过 $a - b$ 在图上还有个更好用的看法：

看那根实心紫色箭头：它从 $b$ 的头指向 $a$ 的头。这就是 $a - b$。

为什么？因为"从 $b$ 的终点走到 $a$ 的终点"这段路，正好补上了两者的差距——你从 $b$ 那儿再走这一段，就能到 $a$。用加法说就是 $b + (a - b) = a$，完全对得上。

而那根虚线紫箭头是把 $a-b$ 挪到原点画的版本。两根紫箭头一样长、一样朝向，所以是同一个向量——这就是上一篇"箭头可以随便挪"的用处。

$a - b$ 有个好记的用法：它是"从 b 指向 a"的那根箭头。以后要表达"从这个点到那个点"，就是"终点减起点"。

为什么这么做

为什么把这个操作叫"加法"？它和 $2+3=5$ 是一回事吗？

不完全是一回事，但共享同一个精神：把两个东西合并成一个。数字相加是把两个数量合并，向量相加是把两段位移合并。数学家发现向量的这个操作和数字加法有很多共同的性质（比如都能交换顺序、都有个"加了等于没加"的零），所以借用了同一个名字和同一个符号。

代价是：你必须时刻记住向量加法不是长度相加（下一节专门讲这个坑）。名字借来了，规则可没借来。

为什么规则是"对应位置分别相加"，而不是别的搭配？

因为"向右几格"和"向上几格"这两笔账天生互不干扰。你向右走多少，丝毫不影响你向上走了多少——这是格子坐标系的根本性质（两个方向互相垂直）。所以两笔账各自算总，合起来就是答案。

如果换一种记法（比如上一篇提到的"长度 + 角度"），这两笔账就纠缠在一起了：两个箭头的长度相加不等于结果的长度，角度相加更是毫无意义。这就是上一篇说"格子记法算起来方便"的兑现时刻。

为什么要专门定义"数乘"，而不是说"向量加自己 3 次"？

因为加自己 3 次只能得到 $3v$，得不到 $0.5v$、$-2v$、$1.7v$。数乘能做的事比重复加法多得多——它让"沿着这个方向，走任意倍数的距离"成为一个操作。

下一篇你会看到，正是"加法 + 数乘"这两个操作合起来，才能用几根固定的箭头拼出平面上任何一个点。少了数乘就拼不出来。

为什么别的选择不行

死胡同一：以为"向量相加"就是"长度相加"

这是本篇最大的坑，而且它错得非常有诱惑力：两个东西加起来，不该变得更大吗？

来做个实验。两根箭头都长 3 格，把它们相加，结果有多长？

答案是：说不准，取决于方向。

同样是"3 加 3"，答案可以是 6、可以是 0、可以是中间的任何值。

想想为什么："往东走 3 步，再往西走 3 步"——你回到了原地，净位移是零。你确实走了 6 步路（累坏了），但你哪儿也没去。向量记的是"净跑到哪儿"，不是"走了多少路"。

所以：长度不服从加法。 那个"两个东西加起来会变大"的直觉，是从数字那儿带过来的，在向量这里不成立。这也是为什么我们非要在图上首尾相接地画——只有图不会骗你。

死胡同二：以为 $a - b$ 和 $b - a$ 是一回事

在数字里，$5 - 3 = 2$ 和 $3 - 5 = -2$，大家都知道不一样但"差不多"，就是差个正负号。

在向量里也是差个"正负号"，但这个符号的后果是几何上的：

• $a - b$ 是从 b 指向 a 的箭头
• $b - a$ 是从 a 指向 b 的箭头

两根箭头长度完全相同、方向完全相反。它们不是"差不多"，而是指着两个相反的地方。

这个错误在实际中很致命，因为它常常伪装成"顺序无所谓"。举个例子：你要算"从我家到学校"这个向量，正确写法是 学校 - 我家（终点减起点）。要是写成 我家 - 学校，你算出来的箭头会指向反方向——照着它走，你会离学校越来越远。

记住：减法不能交换顺序。谁在前面，箭头就指向谁。

沉淀结论

这一篇给了你两个操作，它们是后面所有内容的工具：

1. 相加 = 首尾相接（三角形法则），算法是对应位置分别相加；可以交换顺序
2. 数乘 = 拉长缩短，算法是每个数字都乘那个数；乘负数会掉头，乘 0 得零向量
3. 相减 = 加上掉头的箭头，图上是从 b 的头指向 a 的头；不能交换顺序
4. 长度不服从加法——这是最容易犯的错

最重要的其实不是这些规则本身，而是那句话：规则来自图，不来自规定。 你每一条都能在方格纸上画出来验证。

下一篇我们要问一个新问题：手里只有两根固定的箭头，靠"加法"和"数乘"这两招，能拼出平面上哪些点？ 答案会比你想的更有意思。

记忆口诀

加法首尾接，画个三角形。
上加上、下加下，两笔账不打架。
数乘拉长缩短，负数掉头，零变一个点。
减法是掉头再加，箭头从 b 指向 a。
长度不许相加——3 加 3 可以等于 0。

长大以后它会变成什么

游戏里角色的移动就是这么算的：本来朝前跑的速度，加上被爆炸推开的速度，加上重力往下拽的速度，全部首尾接起来，得出这一帧实际往哪儿飞。想看真实引擎里怎么处理这些叠加，可以以后翻 UE 移动预测。

自测：合上资料能说清楚吗？

1. 你先往东走 400 米，又往北走 300 米。用向量的话怎么描述"你一共走到哪儿去了"？在方格纸上画出来。

2. 两根箭头都是 3 格长，相加后的结果一定是 6 格长吗？请给出至少两个不同的答案。

3. 为什么"对应位置分别相加"这条规则是对的？它是谁规定的吗？

4. 对比 $-2v$ 和 $0.5v$：它们各自对箭头做了什么？哪个改了方向？

5. 要表示"从我家到学校"这根箭头，该写 学校 - 我家 还是 我家 - 学校？写错了会怎样？